(0) Obligation:
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
from(X) → cons(X, n__from(n__s(X)))
length(n__nil) → 0
length(n__cons(X, Y)) → s(length1(activate(Y)))
length1(X) → length(activate(X))
from(X) → n__from(X)
s(X) → n__s(X)
nil → n__nil
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
activate(n__from(X)) → from(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__nil) → nil
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(X) → X
Rewrite Strategy: FULL
(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)
The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(2n):
The rewrite sequence
activate(n__from(X)) →+ cons(activate(X), n__from(n__s(activate(X))))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0].
The pumping substitution is [X / n__from(X)].
The result substitution is [ ].
The rewrite sequence
activate(n__from(X)) →+ cons(activate(X), n__from(n__s(activate(X))))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [1,0,0].
The pumping substitution is [X / n__from(X)].
The result substitution is [ ].
(2) BOUNDS(2^n, INF)
(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
(4) Obligation:
Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:
from(X) → cons(X, n__from(n__s(X)))
length(n__nil) → 0'
length(n__cons(X, Y)) → s(length1(activate(Y)))
length1(X) → length(activate(X))
from(X) → n__from(X)
s(X) → n__s(X)
nil → n__nil
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
activate(n__from(X)) → from(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__nil) → nil
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(X) → X
S is empty.
Rewrite Strategy: FULL
(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)
Infered types.
(6) Obligation:
TRS:
Rules:
from(X) → cons(X, n__from(n__s(X)))
length(n__nil) → 0'
length(n__cons(X, Y)) → s(length1(activate(Y)))
length1(X) → length(activate(X))
from(X) → n__from(X)
s(X) → n__s(X)
nil → n__nil
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
activate(n__from(X)) → from(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__nil) → nil
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(X) → X
Types:
from :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
cons :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
n__from :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
n__s :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
length :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
n__nil :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
0' :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
n__cons :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
s :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
length1 :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
activate :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
nil :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
hole_n__s:n__from:n__nil:0':n__cons1_0 :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
gen_n__s:n__from:n__nil:0':n__cons2_0 :: Nat → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
length,
length1,
activateThey will be analysed ascendingly in the following order:
length = length1
activate < length
activate < length1
(8) Obligation:
TRS:
Rules:
from(
X) →
cons(
X,
n__from(
n__s(
X)))
length(
n__nil) →
0'length(
n__cons(
X,
Y)) →
s(
length1(
activate(
Y)))
length1(
X) →
length(
activate(
X))
from(
X) →
n__from(
X)
s(
X) →
n__s(
X)
nil →
n__nilcons(
X1,
X2) →
n__cons(
X1,
X2)
activate(
n__from(
X)) →
from(
activate(
X))
activate(
n__s(
X)) →
s(
activate(
X))
activate(
n__nil) →
nilactivate(
n__cons(
X1,
X2)) →
cons(
activate(
X1),
X2)
activate(
X) →
XTypes:
from :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
cons :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
n__from :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
n__s :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
length :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
n__nil :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
0' :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
n__cons :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
s :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
length1 :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
activate :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
nil :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
hole_n__s:n__from:n__nil:0':n__cons1_0 :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
gen_n__s:n__from:n__nil:0':n__cons2_0 :: Nat → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
Generator Equations:
gen_n__s:n__from:n__nil:0':n__cons2_0(0) ⇔ n__nil
gen_n__s:n__from:n__nil:0':n__cons2_0(+(x, 1)) ⇔ n__from(gen_n__s:n__from:n__nil:0':n__cons2_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
activate, length, length1
They will be analysed ascendingly in the following order:
length = length1
activate < length
activate < length1
(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol activate.
(10) Obligation:
TRS:
Rules:
from(
X) →
cons(
X,
n__from(
n__s(
X)))
length(
n__nil) →
0'length(
n__cons(
X,
Y)) →
s(
length1(
activate(
Y)))
length1(
X) →
length(
activate(
X))
from(
X) →
n__from(
X)
s(
X) →
n__s(
X)
nil →
n__nilcons(
X1,
X2) →
n__cons(
X1,
X2)
activate(
n__from(
X)) →
from(
activate(
X))
activate(
n__s(
X)) →
s(
activate(
X))
activate(
n__nil) →
nilactivate(
n__cons(
X1,
X2)) →
cons(
activate(
X1),
X2)
activate(
X) →
XTypes:
from :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
cons :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
n__from :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
n__s :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
length :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
n__nil :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
0' :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
n__cons :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
s :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
length1 :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
activate :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
nil :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
hole_n__s:n__from:n__nil:0':n__cons1_0 :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
gen_n__s:n__from:n__nil:0':n__cons2_0 :: Nat → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
Generator Equations:
gen_n__s:n__from:n__nil:0':n__cons2_0(0) ⇔ n__nil
gen_n__s:n__from:n__nil:0':n__cons2_0(+(x, 1)) ⇔ n__from(gen_n__s:n__from:n__nil:0':n__cons2_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
length1, length
They will be analysed ascendingly in the following order:
length = length1
(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol length1.
(12) Obligation:
TRS:
Rules:
from(
X) →
cons(
X,
n__from(
n__s(
X)))
length(
n__nil) →
0'length(
n__cons(
X,
Y)) →
s(
length1(
activate(
Y)))
length1(
X) →
length(
activate(
X))
from(
X) →
n__from(
X)
s(
X) →
n__s(
X)
nil →
n__nilcons(
X1,
X2) →
n__cons(
X1,
X2)
activate(
n__from(
X)) →
from(
activate(
X))
activate(
n__s(
X)) →
s(
activate(
X))
activate(
n__nil) →
nilactivate(
n__cons(
X1,
X2)) →
cons(
activate(
X1),
X2)
activate(
X) →
XTypes:
from :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
cons :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
n__from :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
n__s :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
length :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
n__nil :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
0' :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
n__cons :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
s :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
length1 :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
activate :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
nil :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
hole_n__s:n__from:n__nil:0':n__cons1_0 :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
gen_n__s:n__from:n__nil:0':n__cons2_0 :: Nat → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
Generator Equations:
gen_n__s:n__from:n__nil:0':n__cons2_0(0) ⇔ n__nil
gen_n__s:n__from:n__nil:0':n__cons2_0(+(x, 1)) ⇔ n__from(gen_n__s:n__from:n__nil:0':n__cons2_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
length
They will be analysed ascendingly in the following order:
length = length1
(13) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol length.
(14) Obligation:
TRS:
Rules:
from(
X) →
cons(
X,
n__from(
n__s(
X)))
length(
n__nil) →
0'length(
n__cons(
X,
Y)) →
s(
length1(
activate(
Y)))
length1(
X) →
length(
activate(
X))
from(
X) →
n__from(
X)
s(
X) →
n__s(
X)
nil →
n__nilcons(
X1,
X2) →
n__cons(
X1,
X2)
activate(
n__from(
X)) →
from(
activate(
X))
activate(
n__s(
X)) →
s(
activate(
X))
activate(
n__nil) →
nilactivate(
n__cons(
X1,
X2)) →
cons(
activate(
X1),
X2)
activate(
X) →
XTypes:
from :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
cons :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
n__from :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
n__s :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
length :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
n__nil :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
0' :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
n__cons :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
s :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
length1 :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
activate :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
nil :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
hole_n__s:n__from:n__nil:0':n__cons1_0 :: n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
gen_n__s:n__from:n__nil:0':n__cons2_0 :: Nat → n__s:n__from:n__nil:0':n__cons
Generator Equations:
gen_n__s:n__from:n__nil:0':n__cons2_0(0) ⇔ n__nil
gen_n__s:n__from:n__nil:0':n__cons2_0(+(x, 1)) ⇔ n__from(gen_n__s:n__from:n__nil:0':n__cons2_0(x))
No more defined symbols left to analyse.